Действия с матрицами - Book-Science - Научная энциклопедия
Профиль
Рейтинги
Новые
Категории
  • Новости
  • Статьи
  • Работы
  • Исследования
  • Заметки
  • Комменты

Действия с матрицами, страница 2

Разместил: Shkirka, 9 October 2012

Элементы, имеющие одинаковые индексы а11, а22,..., аnn, образуют главную диагональ матрицы. Квадратная матрица называется диагональной, если на главной диагонали стоят элементы отличные от нуля, а все прочие элементы равны нулю.

Диагональная матрица называется единичной, если все числа, стоящие на главной диагонали, равны 1. Единичную матрицу обозначают Е.

Матрицы можно складывать, умножать на число, перемножать. Эти операции выполняются по следующим правилам:

1. Суммой матриц А = (аij) и В = (bij) c одинаковым количеством строк (m) и столбцов (n) называется матрица C=(cij), элементы которой определяются равенством

cij = аij + bij(i = 1, 2,..., mj = 1, 2,..., n), i — номер строки, j — номер столбца.

Аналогично определяется разность матриц.

2. Произведением матрицы А = (аij) на число t называется матрица, у которой каждый элемент равен произведению соответствующего элемента матрицы А на число t; таким образом, tА = t (аij).

Пример 5.1

Произведением матрицы А =(аij), имеющей m-строк и к-столбцов, на матрицу В = (bij), имеющей к -строк и n- столбцов, называется матрица С = (сij)размерностью (mxn), у которой каждый элемент ij) является скалярным произведением i-й вектор-строки матрицы А и j-го вектор-столбцаматрицы В:

сij = аi1b1j + ai2b2j +... + aikbkj.

Если число столбцов матрицы А не равно числу строк матрицы В, произведение не определено.

Пример 5.2.

Найти АВ, если

 

Вычислим, например, один элемент- с21. Здесь i=2, это номер строки матрицы А; j=1, это номер столбца матрицы В. Для вычисления с21 данные строка и столбец должны быть умножены покомпонентно и полученные произведения просуммированы (то есть должно быть выполнено скалярное умножение соответствующих вектор-строки и вектор-столбца). Таким образом,

Вообще же,

Замечание. Умножение матриц не обладает перестановочным свойством. Так, в данном примере произведения ВА не существует по определению: не соответствуют размерности матриц.

Умножение квадратной матрицы любого порядка на соответствующую единичную матрицу не изменяет ее. Этим объясняется название «единичная». В этом можно убедиться, сделав соответствующее перемножение.

Операции над матрицами обладают следующими свойствами (k,t — числа):

А + В = В + А;

(А + В) + С = А + (В + С);

АВ не равно ВА. (Если АВ = ВА, матрицы называются коммутативными или перестановочными);

(А + В)С = АС + ВС;

С(А +В) = СА +СВ;

А(ВС) = (АВ)С;

А(kt) =(Аk)t;

А(k + t) = Аk + Аt;

(А +В)k = Аk + Вk;

АЕ = ЕА = А;

detAB = detАdetB. Символами detА (det — «детерминант») или |А| обозначают определитель матрицы.

Если поменять местами строки и столбцы матрицы А, то такая матрица будет называться транспонированной к А (обозначают АT или А/).

Пример 5.3.

Найти матрицу С = 3А2 — (2В-А), если

Решение.

Выполним следующие действия с матрицами:

Спонсор статьи - образовательный ресурс "Studwork" - предлагает студентам младших и старших курсов свою помощь по математике и теории вероятности. Если вы никак не можете решить сложную контрольную работу, обратитесь к профессионалам, которые вам с радостью помогут.

: 2.9/5 (1360 )

Похожие статьи
1: 
Причины возникновения заболеваний почек
Нередко люди слишком мало внимания уделяют здоровью почек и другихре органов, часто упускают возможность подавить заболевания на ранних стадиях, так как откладывают поход к врачу по причине недостатка времени. Если болезнь развивается, побороть ее сл...
2: 
Понятие ценности информации
Возможны различные подходы к определению ценности информации. 1. Денежная стоимость: полная денежная стоимость получения информации (закупки, поиска, формирования собственными силами с учетом сопутствующих затрат); стоимость длительного хранения инфо...
3: 
Модель Дюпона как инструмент финансовой экспресс-диагностики
Модель Дюпона помогает оценивать прошлую рентабельность реализации продукции и уровень оборачиваемости активов и по их соотношению разрабатывать будущие рациональные планы по их ускорению и увеличению. Работа с этой моделью проводится в 5 этапов. 1 э...
4: 
Определение эквивалентности платежей. Критический уровень процентной ставки
В ряде случаев необходимо понять является ли правомерной с точки зрения сохранения финансовых взаимоотношений сторон, та или иная замена обязательств. Пример: обязательство уплатить 100 млн.рублей через месяц предполагается заменить платежом 110 млн....
5: 
Процент и процентная ставка. Виды процентных ставок. Номинальная, периодическая и эффективная ставки
Процент (Y) = TV P TV полученная новая сумма (результат) (конечная или наращенная сумма) P первоначальная сумма. Процентная ставка (i) относительная величина процента. i = Y/P Простая TV = P(1+i*n) Сложная TV = P*(1+i)n TV1=P(1+i) TV2= TV1(1+i)=P(1+i...
Пользователей онлайн: 18
Все права защищены. При копировании материалов ссылка на Book-Science обязательна. (c) Book-Science, 2010-2016