Профиль
Рейтинги
Новые
Категории
  • Новости
  • Статьи
  • Работы
  • Исследования
  • Заметки
  • Комменты

Элементы аналитической геометрии на плоскости

Разместил: Lincoln, 26 September 2011

Основной метод аналитической геометрии — метод координат. В основе этого метода лежит понятие системы координат. В данной теме рассматривается прямоугольная (декартова) система координат. В этой системе точке М пространства соответствует упорядоченная тройка чисел (x, y, z), называемая координатами точки М, и наоборот — каждой тройке чисел соответствует единственная точка в прямоугольной системе координат. Этот принцип позволяет связать задачи геометрии и алгебры, а именно: описать аналитически заданный геометрический образ и его свойства и интерпретировать уравнения и неравенства как графические объекты.

В данной теме рассматриваются задачи геометрии на плоскости, где координатами любой точки является упорядоченная пара чисел (х, у). Важнейшее понятие аналитической геометрии — уравнение линии. Выражение вида F(x,y) = 0 называется уравнением линии на плоскости, если ему удовлетворяют координаты тех и только тех точек, которые принадлежат этой линии.

Рассмотрим на примере, как по описанию свойств множества точек, принадлежащих некоторой линии, составляется уравнение этой линии.

Пример 1.1

Написать уравнение траектории точки М (х,у), которая при своем движении остается втрое ближе к точке А (3;-2), чем к точке В (0;1).

Решение: Обозначим ‌ ВМ ‌ = d1, ‌ AM ‌ = d2.

По условию

d1 = 3d2. (1.1)

В соответствии с формулой расстояния между двумя точками

, следовательно, на основании (1.1) запишем и после упрощения получим искомое уравнение x2 + y2 + 3x — 5y — 5 = 0

Прямые линии называются линиями первого порядка, им соответствуют уравнения первой степени относительно переменных х и y. Линиям второго прядка (эллипс, гипербола, парабола и др.) соответствуют уравнения второй степени.

Прямая линия

Существуют различные формы уравнения прямой:

  1. Ах+Ву+С = 0 — общее уравнение прямой, где А,В,С — постоянные, причем А22 ≠ 0;
  2. y = kx+b — уравнение прямой с угловым коэффициентом к = tga, где a — угол наклона прямой к оси Ох, отсчитываемый от оси Ох против движения часовой стрелки (положительное направление), b — отрезок, отсекаемый прямой на оси Оу;
  3. у — у1 = k (x — x1) уравнение прямой, проходящей через заданную точку1, у1) в заданном направлении;
  4. уравнение прямой в отрезках, где а, b — отрезки, отсекаемые прямой соответственно на осях Ох и Оу. Уравнение этого вида позволяет легко выполнить построение прямой, заданной любым уравнением;
  5. уравнение прямой, проходящей через две заданные точки М111) и М222).

Пример 1.2.

Построить прямые:

1) 2х — 3у — 4 = 0;

2) у = 3х — 2.

Решение.

В обоих случаях следует привести заданное уравнение к виду уравнения в отрезках; далее числа, стоящие в знаменателях отложить соответственно на осях Ох и Оу, через полученные точки провести прямую

  1. .
  2. Решение этой задачи аналогично: 3х — у = 2, следовательно

Полученные прямые изображены на графике.

Прежде чем приступить к решению задач, связанных с прямой на плоскости, следует ознакомиться по учебнику со следующими вопросами: угол между прямыми; условия параллельности и перпендикулярности прямых; расстояние от точки до прямой.

Пример 1.3. Решение типовой задачи

Даны вершины треугольника: А (2,-1), В (0,2), С (4,3).

Найти: 1) длину АВ; 2) уравнения сторон; 3) угол ВАС; 4) уравнение высоты ВВ1; 5) точку В1; 6) систему линейных неравенств, определяющих область, образованную треугольником АВС.

  1. .
  2. Каждая из сторон треугольника задана двумя точками, следовательно, в соответствии с уравнением

, положив, что х1, у1 — координаты точки А, х2, у2 — координаты точки В, имеем для АВ , из чего следует уравнение прямой АВ: .

Аналогично для ВС и АС:

.

Указание. Проверьте правильность уравнений. Так, координаты точки В удовлетворяют первому и второму уравнениям. Для проверки третьего — можно подставить координаты точки А или В.

3. Пусть φ — угол ВАС. Известно, что

(1.3)

Определим kAB и kAC. Для этого уравнения прямых АВ и АС представим в форме уравнения с угловым коэффициентом . Получим: kAB = — 1,5, kAC = 2. После подстановки этих значений в формулу (1.3) вычислим φ ≈ 60°15`.

4.Уравнение ВВ1 запишем как уравнение прямой, проходящей через заданную точку В (0;2) в заданном направлении. Это направление, то есть угловой коэффициент kBВ1, найдем из условия ВВ1^АС,

5. Координаты точки В1 определяются как решение системы уравнений прямых ВВ1 и АС (то есть как общая точка этих прямых):

.

6. Множество точек, принадлежащих замкнутой области (области с присоединенной границей) треугольника АВС, определяется как система линейных неравенств

.

Статья создана при содействии компании "DiplomMoscva", которая представляет вашему вниманию свою помощь в написании диссертаций, курсовых и дипломных работ по формальным, естественным, гуманитарным и социальным наукам.

Рейтинг: 3.0/5 (640 голосов)

Похожие статьи
1: 
Уравнение
Уравнение - это равенство двух и более функций, каждая из которых состоит из набора переменных или переменных и констант. Уравнение, где известны значения переменных, при которых обеспечивается равенство, называется решенным уравнением. Переменные, и...
2: 
Право как мера свободы в субъектно-субъектной системе координат жизнедеятельности человека
Свободу нельзя ввести в социальную реальность как нечто определенное, потому что это такое состояние, которое достигается не столько как результат, сколько как процесс его осуществления. Осуществиться свобода может в трех системах координат жизнедеят...
3: 
Уравнение прямой в пространстве
Уравнение прямой в пространстве задается в нескольких формах: 1. Общее уравнение прямой 2. Уравнение прямой, проходящей через данную точку М1 (х1, y1, z1) в заданном направлении вектор а = {l, m, n}. Пусть точка М (х, у, z) принадлежит прямой. Вектор...
4: 
Элементы аналитической геометрии в пространстве
Точка М(x,y,z) принадлежит плоскости Ф, если ее координаты удовлетворяют уравнению этой плоскости. Уравнение вида называется общим уравнением плоскости. Плоскость будет задана, если заданы точка М0 (х0, y0, z0), принадлежащая плоскости, и координаты ...
5: 
Социально-культурные технологии
Основные дидактические единицы: Технология анализа ситуации: понятие, структура и параметры анализа ситуации; технология анализа проблем (характеристика проблемного поля; классификация и ранжирование проблем; позиционирование проблем и установление и...
Пользователей онлайн: 50
Все права защищены. При копировании материалов ссылка на Book-Science обязательна. (c) Book-Science, 2010-2016