Профиль
Рейтинги
Новые
Категории
  • Новости
  • Статьи
  • Работы
  • Исследования
  • Заметки
  • Комменты

Элементы аналитической геометрии в пространстве

Разместил: Apelsinka, 12 October 2011

Точка М(x,y,z) принадлежит плоскости Ф, если ее координаты удовлетворяют уравнению этой плоскости.

Уравнение вида

называется общим уравнением плоскости. Плоскость будет задана, если заданы точка М0 (х0, y0, z0), принадлежащая плоскости, и координаты вектора , перпендикулярного данной плоскости (вектор называют нормальным вектором). В этом случае уравнение плоскости имеет вид (используется условие перпендикулярности векторов),

  , следовательно, их скалярное произведение имеет вид 

Обозначив , получим общее уравнение плоскости

Рекомендация. Обратите внимание на частные случаи уравнений плоскости. Например, z = 2 — уравнение плоскости при А = 0 и В = 0. Расположение этой плоскости показано на рисунке. Другие случаи равенства нулю коэффициентов уравнения рассмотрите самостоятельно.

От общего уравнения можно перейти к уравнению в отрезках. Для этого выполним следующие действия.

Введя обозначения, получим уравнение, называемое уравнением плоскости «в отрезках на осях».

Величины a, b, c — отрезки, отсекаемые плоскостью соответственно на осях ОХ, ОY, OZ.

Пусть известны нормальные векторы двух плоскостей тогда из параллельности плоскостей вытекает параллельность векторов  следовательно, их координаты пропорциональны.

  - это условие параллельности плоскостей.

Если плоскости взаимно перпендикулярны, то то есть — это условие перпендикулярности плоскостей.

Угол φ между плоскостями определяется как угол между нормальными векторами этих плоскостей. По формуле скалярного произведения векторов:

Пример 

Написать уравнение плоскости Ф, проходящей через точки М1 (0,1,2) и М2 (1,-1,0) перпендикулярно плоскости Построить плоскость Ф.

Решение: Напишем общее уравнение плоскости 

Пусть вектор N={А,В,С} — нормальный вектор искомой плоскости,N 1= {2,-3,-1} — нормальный вектор известной плоскости.  ПосколькуN перпендикулярен N1, то NN1 = 0, следовательно, 2A-3B-C=0

М1 и М2 принадлежат плоскости Ф, следовательно, их координаты удовлетворяют уравнению (2.2). Подставив в (2.2) координаты точек М1и М2, получим два уравнения

B+2C+D=0

A-B+D=0

Таким образом, получено три уравнения для четырех неизвестных А, В, С, D, а это значит, что необходимы дополнительные условия. Например, можно учесть, что длина вектора N может быть произвольной, тогда одну из координат, например, А можно положить равной единице. В результате получим систему уравнений

Таким образом,  Полученные результаты позволяют написать уравнение искомой плоскости в виде  Для того чтобы построить плоскость, преобразуем полученное общее уравнение в «уравнение в отрезках»: 

Если построение графиков вызывает у вас затруднение, можно воспользоваться онлайн сервисом построения графиков функций в прямоугольной системе координат, задав параметры оси X и Y и функцию. 

Рейтинг: 2.9/5 (1013 голосов)

Похожие статьи
1: 
Уравнение
Уравнение - это равенство двух и более функций, каждая из которых состоит из набора переменных или переменных и констант. Уравнение, где известны значения переменных, при которых обеспечивается равенство, называется решенным уравнением. Переменные, и...
2: 
Гавана - райское местечко
Гавана, что же это за место? Это прекрасный город, который совмещает в себе древнюю и современную архитектуру! Он богат различными достопримечательностями и многочисленными местами, где можно замечательно отдохнуть и хорошо провести время. Это место ...
3: 
Общее решение систем линейных уравнений в векторной форме. Понятие об n-мерных векторах
Будем называть n-мерным вектором а упорядоченную последовательность чисел а1, а2,.., аn. При этом записывают a = (a1, a2,.., an). ai называют i-ой координатой вектора (i = 1,..., n), число n называют размерностью вектора. Вектор, все координаты котор...
4: 
Уравнение прямой в пространстве
Уравнение прямой в пространстве задается в нескольких формах: 1. Общее уравнение прямой 2. Уравнение прямой, проходящей через данную точку М1 (х1, y1, z1) в заданном направлении вектор а = {l, m, n}. Пусть точка М (х, у, z) принадлежит прямой. Вектор...
5: 
Решение задач по теме Элементы векторной алгебры. Склярное произведение векторов
Скалярным произведением векторов и называется число (скаляр), равное произведению их длин, умноженному на косинус угла между ними, т. е. Рекомендация. Познакомьтесь со свойствами скалярного произведения векторов и обратите внимание на то, что если (с...
Пользователей онлайн: 61
Все права защищены. При копировании материалов ссылка на Book-Science обязательна. (c) Book-Science, 2010-2016