Элементы векторной алгебры. Трехмерные векторы

Прикладные науки

Рассмотрим трехмерные векторы. В отличие от многомерных они имеют наглядную геометрическую интерпретацию, поэтому традиционно, в соответствии с программой курса «Математика» сначала определяются понятия и операции, связанные с трехмерными векторами.

Вектором называют направленный отрезок называют направленный отрезок с началом в точке А и концом в точке В. Обозначают: или или (в печатном тексте вектор обычно выделяют лишь жирным шрифтом, без черточки сверху).

Длина отрезка АВ называется длиной (модулем) вектора и обозначается или или .

Векторы, лежащие на одной или параллельных прямых, называются коллинеарными.

Два вектора и и равны, если они: коллинеарны, одинаково направлены, их длины равны. Таким образом, перенос вектора параллельно самому себе в любое место пространства не изменяет вектора, поэтому все рассматриваемые здесь векторы будут свободными.

Рекомендация. Самостоятельно освоить: линейные операции над векторами (сложение, вычитание, умножение вектора на число); свойства линейных операций; определение проекции вектора на ось.

Проекция вектора на некоторую ось u вычисляется по формуле

где — косинус угла между вектором — косинус угла между вектором и осью u.

В дальнейшем проекции вектора на координатные оси будем обозначать: на координатные оси будем обозначать: или . Если вектор задан координатами точек начала А(х11,z1) и конца B(x2,y2,z2), то его проекции определяются по формулам ха = x2 — x1; уа = y2 — y1; za = z2 — z1.

Проекции вектора на координатные оси называются координатами вектора; соответственно приняты обозначения: ={X,Y,Z} или a(X,Y,Z)

Пусть — единичные векторы, то есть векторы единичной длины, совпадающие соответственно с направлениями координатных осей Ох, Оу, Оz.

Тройка векторов называется ортонормированным базисом трехмерного пространства. Любой трехмерный вектор может быть разложен по этому базису и представлен в виде = = . Причем это разложение — единственное в данном базисе, хотя сам ортонормированный базис является лишь одним из множества возможных базисов трехмерного пространства.

Непосредственно из рисунка (на основании теоремы Пифагора и определения косинуса угла) видно, что

;

Косинусы углов α, β, γ называются направляющими косинусами вектора

Спонсор статьи — онлайн сервис по решению задач по математике, физике, химии «Кто решит?», расположенный по адресу http://ktoreshit.ru/, поможет Вам стать отличником, ведь специалистам нашего портала любая задачка по плечу. Здесь вы также сможете найти себе помощника в написании диплома или курсовой работы и даже заработать, используя свой умственный потенциал.

Book-Science
Добавить комментарий