Построение общего решения системы линейных уравнений (метод Гаусса)

Прикладные науки

Весьма эффективным методом решения системы линейных уравнений, особенно с большим числом n-переменных и m-уравнений,является метод исключения неизвестных или метод Гаусса. (Здесь этот метод представлен в форме Жордана-Гаусса).

Общим решением совместной системы линейных уравнений называют равносильную ей разрешенную систему линейных уравнений.

Неизвестное xj называют разрешенным, если какое-нибудь уравнение системы содержит xj (j = 1,…, n) c коэффициентом 1, а во все остальные уравнения системы xj не входит. Система называется разрешенной, если каждое уравнение содержит разрешенное неизвестное.

Метод Гаусса предполагает выполнение ряда действий, называемых элементарными преобразованиями. Хорошо отработайте на практике метод Гаусса, так как примеры с системными уравнениями ежегодно встречаются в ОГЭ по математике в 9 классе, в ЕГЭ в 11 классе и иных вступительных и выпускных экзаменах.

Элементарные преобразования допускают:

  1. умножение обеих частей любого уравнения на некоторое число t, не равное нулю;
  2. прибавление к обеим частям любого уравнения системы другого уравнения той же системы, умноженного на некоторое число t;
  3. вычеркивание из системы тривиальных уравнений.

Рассмотрим систему линейных уравнений (1). Для удобства запишем в табличной форме коэффициенты при неизвестных и свободные члены. Зафиксируем неизвестное xs и выберем в системе любое уравнение, содержащее это неизвестное. Пусть это будет уравнение с номером r и ars≠0.

В дальнейшем будем называть xs ведущим неизвестным, а коэффициент аrs — ведущим элементом. Преобразование системы состоит из нескольких однотипных по процедуре шагов. На первом шаге выбирается ведущий элемент. В данном случае — это коэффициент ars. Уравнение с этим ведущим элементом (то есть уравнение с номером r) умножается на t = 1/ars. Далее последовательно к каждому из остальных уравнений системы прибавляется уравнение с номером r, предварительно умноженное на соответствующее каждому из этих уравнений число ti = — ais. Преобразованная система окажется, таким образом, разрешенной относительно ведущего (на этом шаге) неизвестного xs. Если в результате преобразования в системе оказались тривиальные уравнения, их надо исключить.

Book-Science
Добавить комментарий