Профиль
Рейтинги
Новые
Категории
  • Новости
  • Статьи
  • Работы
  • Исследования
  • Заметки
  • Комменты

Построение общего решения системы линейных уравнений (метод Гаусса)

Разместил: Admin, 12 December 2011

Весьма эффективным методом решения системы линейных уравнений, особенно с большим числом n-переменных и m-уравнений,является метод исключения неизвестных или метод Гаусса. (Здесь этот метод представлен в форме Жордана-Гаусса).

Общим решением совместной системы линейных уравнений называют равносильную ей разрешенную систему линейных уравнений.

Неизвестное xj называют разрешенным, если какое-нибудь уравнение системы содержит xj (j = 1,..., n) c коэффициентом 1, а во все остальные уравнения системы xj не входит. Система называется разрешенной, если каждое уравнение содержит разрешенное неизвестное.

Метод Гаусса предполагает выполнение ряда действий, называемых элементарными преобразованиями. Хорошо отработайте на практике метод Гаусса, так как примеры с системными уравнениями ежегодно встречаются в ОГЭ по математике в 9 классе, в ЕГЭ в 11 классе и иных вступительных и выпускных экзаменах.

Элементарные преобразования допускают:

  1. умножение обеих частей любого уравнения на некоторое число t, не равное нулю;
  2. прибавление к обеим частям любого уравнения системы другого уравнения той же системы, умноженного на некоторое число t;
  3. вычеркивание из системы тривиальных уравнений.

Рассмотрим систему линейных уравнений (1). Для удобства запишем в табличной форме коэффициенты при неизвестных и свободные члены. Зафиксируем неизвестное xs и выберем в системе любое уравнение, содержащее это неизвестное. Пусть это будет уравнение с номером r и ars≠0.

В дальнейшем будем называть xs ведущим неизвестным, а коэффициент аrs — ведущим элементом. Преобразование системы состоит из нескольких однотипных по процедуре шагов. На первом шаге выбирается ведущий элемент. В данном случае — это коэффициент ars. Уравнение с этим ведущим элементом (то есть уравнение с номером r) умножается на t = 1/ars. Далее последовательно к каждому из остальных уравнений системы прибавляется уравнение с номером r, предварительно умноженное на соответствующее каждому из этих уравнений число ti = — ais. Преобразованная система окажется, таким образом, разрешенной относительно ведущего (на этом шаге) неизвестного xs. Если в результате преобразования в системе оказались тривиальные уравнения, их надо исключить.

Рейтинг: 2.9/5 (371 голос)

Похожие статьи
1: 
Уравнение
Уравнение - это равенство двух и более функций, каждая из которых состоит из набора переменных или переменных и констант. Уравнение, где известны значения переменных, при которых обеспечивается равенство, называется решенным уравнением. Переменные, и...
2: 
Гавана - райское местечко
Гавана, что же это за место? Это прекрасный город, который совмещает в себе древнюю и современную архитектуру! Он богат различными достопримечательностями и многочисленными местами, где можно замечательно отдохнуть и хорошо провести время. Это место ...
3: 
Методы определения ставки капитализации
Экстракция это нечто средневзвешенное. Метод рыночной экстракции для однородной модели средняя ставка капитализации по аналогам. Метод экстракции для разнородных тоже самое плюс учет износа. Метод связанных инвестиций - расчет коэффициентов заемных и...
4: 
Решение систем линейных уравнений с помощью определителей
Для простоты рассмотрим решение систем из трех уравнений с тремя неизвестными, хотя этот метод применим также к системам с большим числом уравнений и неизвестных. Для упрощения записи индексов в данном случае введем следующие обозначения: для перемен...
5: 
Элементы аналитической геометрии в пространстве
Точка М(x,y,z) принадлежит плоскости Ф, если ее координаты удовлетворяют уравнению этой плоскости. Уравнение вида называется общим уравнением плоскости. Плоскость будет задана, если заданы точка М0 (х0, y0, z0), принадлежащая плоскости, и координаты ...
Пользователей онлайн: 73
Все права защищены. При копировании материалов ссылка на Book-Science обязательна. (c) Book-Science, 2010-2016