Построение общего решения системы линейных уравнений (метод Гаусса) - Book-Science - Научная энциклопедия
Профиль
Рейтинги
Новые
Категории
  • Новости
  • Статьи
  • Работы
  • Исследования
  • Заметки
  • Комменты

Построение общего решения системы линейных уравнений (метод Гаусса), страница 2

Разместил: Admin, 12 December 2011

Метод Жордана-Гаусса допускает свободу выбора ведущего элемента на каждом шаге. Однако как бы ни выбирались эти элементы, число уравнений разрешенной системы будет неизменным и равным максимальному числу линейно независимых уравнений системы.

Напомним, что природа линейно зависимых уравнений такова, что они являются результатом линейных операций над другими уравнениями системы. (Линейными операциями считаются: сложение, вычитание, умножение на число). Выполнение элементарных преобразований по методу Гаусса (а это — выполнение линейных операций с уравнениями) приводит к обращению зависимых уравнений в тривиальные и исключению их из системы. Если система несовместна, то в результате элементарных преобразований будут выявлены противоречивые уравнения, то есть уравнения вида ( см. пример 2 ниже).

Число независимых уравнений совместной системы называется рангом системы и является важной характеристикой, позволяющей судить об исходе решения системы линейных алгебраических уравнений. Действительно, пусть m — число уравнений, n — число неизвестных, r — ранг системы, тогда соотношение между рангом системы и числом ее неизвестных приводит к следующим результатам решения совместной системы:

  1. если r = n, то система имеет единственное решение;
  2. если r < n, то система имеет бесчисленное множество решений. В этом случае говорят об общем решении, частном решении, базисных и свободных неизвестных. При этом число базисных неизвестных равно рангу системы, а число свободных — определяется разностью n-r.

Рассмотрим решение системы при r < n на конкретном примере.

Пример 2

Выполним преобразования. На первом шаге разрешим систему относительно х4: первое уравнение, сначала умножим на (-2) и прибавим ко второму, а затем умножим на (-7), и прибавим к третьему уравнению. На втором шаге разрешим систему относительно х1: второе уравнение умножим на 2 и прибавим к первому, затем его же умножим на 5 и прибавим к третьему. В таблице второе уравнение представим умноженным на (-1).

Третье уравнение последней системы оказалось тривиальным, поэтому исключим его, а систему запишем через разрешенные неизвестные. В первом уравнении это х4, во втором  — х1. Разрешенные неизвестные оставляют в правых частях уравнений, остальные переносят в левые части, их коэффициенты при этом записываются с противоположными знаками (по сравнению с их знаками в полученной таблице)

Полученная система, записанная через разрешенные неизвестные, и будет общим решением. При этом х1, х4 — базисные неизвестные (их число равно рангу системы). Остальные неизвестные, то есть х2, х3 — свободные. 

Придавая им конкретные значения, получают частные решения системы.

Если система несовместна, то в результате преобразования по методу Гаусса появится как минимум одно противоречивое уравнение, то есть уравнение вида ( пример 2). Проиллюстрируем это на примере.

На первом шаге (в результате разрешения системы относительно х1) выяснилось, что второе уравнение противоречиво, следовательно, данная система несовместна и решения не имеет.

Таким образом, метод Гаусса является универсальным методом решения систем линейных уравнений.

Если для вас домашние задания по алгебре кажутся слишком сложными, разобраться в математических тонкостях вам поможет готовое домашнее задание. На информационном ресурсе Gdzfree вы найдете ГДЗ по алгебре Макарычева за 9 класс, а также готовые ответы к учебным пособиям других авторов с 7 по 11 класс.

: 2.9/5 (1006 )

Похожие статьи
1: 
Уравнение
Уравнение - это равенство двух и более функций, каждая из которых состоит из набора переменных или переменных и констант. Уравнение, где известны значения переменных, при которых обеспечивается равенство, называется решенным уравнением. Переменные, и...
2: 
Методы определения ставки капитализации
Экстракция это нечто средневзвешенное. Метод рыночной экстракции для однородной модели средняя ставка капитализации по аналогам. Метод экстракции для разнородных тоже самое плюс учет износа. Метод связанных инвестиций - расчет коэффициентов заемных и...
3: 
Решение систем линейных уравнений с помощью определителей
Для простоты рассмотрим решение систем из трех уравнений с тремя неизвестными, хотя этот метод применим также к системам с большим числом уравнений и неизвестных. Для упрощения записи индексов в данном случае введем следующие обозначения: для перемен...
4: 
Элементы аналитической геометрии в пространстве
Точка М(x,y,z) принадлежит плоскости Ф, если ее координаты удовлетворяют уравнению этой плоскости. Уравнение вида называется общим уравнением плоскости. Плоскость будет задана, если заданы точка М0 (х0, y0, z0), принадлежащая плоскости, и координаты ...
5: 
Элементы аналитической геометрии на плоскости
Основной метод аналитической геометрии метод координат. В основе этого метода лежит понятие системы координат. В данной теме рассматривается прямоугольная (декартова) система координат. В этой системе точке М пространства соответствует упорядоченная ...
Пользователей онлайн: 31
Все права защищены. При копировании материалов ссылка на Book-Science обязательна. (c) Book-Science, 2010-2016