Построение общего решения системы линейных уравнений (метод Гаусса), страница 2

Метод Жордана-Гаусса допускает свободу выбора ведущего элемента на каждом шаге. Однако как бы ни выбирались эти элементы, число уравнений разрешенной системы будет неизменным и равным максимальному числу линейно независимых уравнений системы.

Напомним, что природа линейно зависимых уравнений такова, что они являются результатом линейных операций над другими уравнениями системы. (Линейными операциями считаются: сложение, вычитание, умножение на число). Выполнение элементарных преобразований по методу Гаусса (а это — выполнение линейных операций с уравнениями) приводит к обращению зависимых уравнений в тривиальные и исключению их из системы. Если система несовместна, то в результате элементарных преобразований будут выявлены противоречивые уравнения, то есть уравнения вида ( см. пример 2 ниже).

Число независимых уравнений совместной системы называется рангом системы и является важной характеристикой, позволяющей судить об исходе решения системы линейных алгебраических уравнений. Действительно, пусть m — число уравнений, n — число неизвестных, r — ранг системы, тогда соотношение между рангом системы и числом ее неизвестных приводит к следующим результатам решения совместной системы:

1. если r = n, то система имеет единственное решение;
2. если r < n, то система имеет бесчисленное множество решений. В этом случае говорят об общем решении, частном решении, базисных и свободных неизвестных. При этом число базисных неизвестных равно рангу системы, а число свободных — определяется разностью n-r.

Рассмотрим решение системы при r < n на конкретном примере.

Пример 2

Выполним преобразования. На первом шаге разрешим систему относительно х₄: первое уравнение, сначала умножим на (-2) и прибавим ко второму, а затем умножим на (-7), и прибавим к третьему уравнению. На втором шаге разрешим систему относительно х₁: второе уравнение умножим на 2 и прибавим к первому, затем его же умножим на 5 и прибавим к третьему. В таблице второе уравнение представим умноженным на (-1).

Третье уравнение последней системы оказалось тривиальным, поэтому исключим его, а систему запишем через разрешенные неизвестные. В первом уравнении это х₄, во втором  — х₁. Разрешенные неизвестные оставляют в правых частях уравнений, остальные переносят в левые части, их коэффициенты при этом записываются с противоположными знаками (по сравнению с их знаками в полученной таблице)

Полученная система, записанная через разрешенные неизвестные, и будет общим решением. При этом х₁, х₄ — базисные неизвестные (их число равно рангу системы). Остальные неизвестные, то есть х₂, х₃ — свободные. 

Придавая им конкретные значения, получают частные решения системы.

Если система несовместна, то в результате преобразования по методу Гаусса появится как минимум одно противоречивое уравнение, то есть уравнение вида ( пример 2). Проиллюстрируем это на примере.

На первом шаге (в результате разрешения системы относительно х₁) выяснилось, что второе уравнение противоречиво, следовательно, данная система несовместна и решения не имеет.

Таким образом, метод Гаусса является универсальным методом решения систем линейных уравнений.

Если для вас домашние задания по алгебре кажутся слишком сложными, разобраться в математических тонкостях вам поможет готовое домашнее задание. На информационном ресурсе Gdzfree вы найдете ГДЗ по алгебре Макарычева за 9 класс, а также готовые ответы к учебным пособиям других авторов с 7 по 11 класс.