Решение задач по теме Элементы векторной алгебры. Склярное произведение векторов

Прикладные науки

Скалярным произведением векторов  и и называется число (скаляр), равное произведению их длин, умноженному на косинус угла между ними, т. е.

 

Рекомендация. Познакомьтесь со свойствами скалярного произведения векторов и обратите внимание на то, что

  1. если  (соs φ = 0), то (соs φ = 0), то = 0. Очевидно, что тогда и = 0. Очевидно, что тогда и 
  2. если вектор  умножается скалярно на вектор   умножается скалярно на вектор  (соs φ = 1), то  = а2, следовательно, при скалярном перемножении одноименных ортов получим  .

Если векторы заданы своими координатами   (X1,  Y1, Z1) и  (X1,  Y1, Z1) и  (X2,  Y2, Z2), то их скалярное произведение равно 

**= x1x2+y1y2+z1z2

 

Если , то  x1x2+y1y2+z1z2 = 0 (условие перпендикулярности двух векторов). Угол между векторами определяется по формуле

Пример 1

Заданы векторы 

 Разложить геометрически и аналитически вектор 

Решение.

  1. Запишем координаты векторов     и построим векторы.

 

Разложить вектор  по векторам  по векторам  и , означает представить , означает представить  как сумму двух векторов, то есть представить   как результат линейных операций с векторами  как результат линейных операций с векторами  и    (говорят:    (говорят:  — линейная комбинация векторов  и  и  )

(п. 4)

  1. Сначала решим задачу графически:

    Из (п. 4) следует, что  — диагональ параллелограмма, построенного на векторах  — диагональ параллелограмма, построенного на векторах   и , следовательно, из конца вектора , следовательно, из конца вектора  проведем две прямые, параллельные соответственно  и и , продолжим линии векторов   и  и  (то есть ОА и ОВ) до пересечения с ними. Стороны полученного параллелограмма и есть искомые векторы 

  2. Аналитически решить данную задачу — значит найти из уравнения (1) значения λи λ2, что позволит определить векторы . Выражение (1) с учетом условия задачи имеет вид . Выражение (1) с учетом условия задачи имеет вид  , отсюда, сгруппировав правую часть относительно i и j, получим 

Сравнение коэффициентов при  i и j, стоящих слева и справа в последнем выражении, позволяет записать систему уравнений относительно λи λ2:


Таким образом, .

 

Пример 2

Известны точки А (0, 2, 3) и В (0, 1, 4), а также векторы  и  и ; причем |; причем ||=2;  ; (b — угол  ; (b — угол с осью Оу). Найти вектор   и угол между векторами  и угол между векторами  и .

Решение:

  1. Представим векторы  ,  ,  и координатами:

 следовательно



таким образом  ū=12i+4j +4л

3. Из формулы скалярного произведения векторов  и и  следует:

Спонсор статьи — компания UFAGIDRA — ваш сектрет успешной учебы, ведь специалисты компании всегда готовы помочь вам с расчетно-графическими задачами, курсовыми по гидравлике. Разумно используйте свое время! Если вы по каким-либо причинам не можете или не успеваете с домашним заданием, оставьте решение задач по гидравлике специалистам.

Book-Science
Добавить комментарий