Профиль
Рейтинги
Новые
Категории
  • Новости
  • Статьи
  • Работы
  • Исследования
  • Заметки
  • Комменты

Решение задач по теме Элементы векторной алгебры. Склярное произведение векторов

Разместил: Lincoln, 5 October 2011

Скалярным произведением векторов  и называется число (скаляр), равное произведению их длин, умноженному на косинус угла между ними, т. е.

 

Рекомендация. Познакомьтесь со свойствами скалярного произведения векторов и обратите внимание на то, что

  1. если  (соs φ = 0), то = 0. Очевидно, что тогда и 
  2. если вектор  умножается скалярно на вектор  (соs φ = 1), то  = а2, следовательно, при скалярном перемножении одноименных ортов получим  .

Если векторы заданы своими координатами   (X1,  Y1, Z1) и  (X2,  Y2, Z2), то их скалярное произведение равно 

*= x1x2+y1y2+z1z2

 

Если , то  x1x2+y1y2+z1z2 = 0 (условие перпендикулярности двух векторов). Угол между векторами определяется по формуле

Пример 1

Заданы векторы 

 Разложить геометрически и аналитически вектор 

Решение.

  1. Запишем координаты векторов    и построим векторы.

 

Разложить вектор  по векторам  и , означает представить  как сумму двух векторов, то есть представить   как результат линейных операций с векторами  и    (говорят:  — линейная комбинация векторов  и  )

(п. 4)

  1. Сначала решим задачу графически:

    Из (п. 4) следует, что  - диагональ параллелограмма, построенного на векторах   и , следовательно, из конца вектора  проведем две прямые, параллельные соответственно  и , продолжим линии векторов   и  (то есть ОА и ОВ) до пересечения с ними. Стороны полученного параллелограмма и есть искомые векторы 
  2. Аналитически решить данную задачу — значит найти из уравнения (1) значения λи λ2, что позволит определить векторы . Выражение (1) с учетом условия задачи имеет вид  , отсюда, сгруппировав правую часть относительно i и j, получим 

Сравнение коэффициентов при  i и j, стоящих слева и справа в последнем выражении, позволяет записать систему уравнений относительно λи λ2:


Таким образом, .

 

Пример 2

Известны точки А (0, 2, 3) и В (0, 1, 4), а также векторы  и ; причем ||=2;  ; (b — угол с осью Оу). Найти вектор   и угол между векторами  и .

Решение:

  1. Представим векторы  ,  и координатами:

 следовательно



таким образом  ū=12i+4j +4л

3. Из формулы скалярного произведения векторов  и  следует:

Спонсор статьи - компания UFAGIDRA - ваш сектрет успешной учебы, ведь специалисты компании всегда готовы помочь вам с расчетно-графическими задачами, курсовыми по гидравлике. Разумно используйте свое время! Если вы по каким-либо причинам не можете или не успеваете с домашним заданием, оставьте решение задач по гидравлике специалистам.

Рейтинг: 2.9/5 (1850 голосов)

Похожие статьи
1: 
Причины возникновения заболеваний почек
Нередко люди слишком мало внимания уделяют здоровью почек и другихре органов, часто упускают возможность подавить заболевания на ранних стадиях, так как откладывают поход к врачу по причине недостатка времени. Если болезнь развивается, побороть ее сл...
2: 
Общее решение систем линейных уравнений в векторной форме. Понятие об n-мерных векторах
Будем называть n-мерным вектором а упорядоченную последовательность чисел а1, а2,.., аn. При этом записывают a = (a1, a2,.., an). ai называют i-ой координатой вектора (i = 1,..., n), число n называют размерностью вектора. Вектор, все координаты котор...
3: 
Модель Дюпона как инструмент финансовой экспресс-диагностики
Модель Дюпона помогает оценивать прошлую рентабельность реализации продукции и уровень оборачиваемости активов и по их соотношению разрабатывать будущие рациональные планы по их ускорению и увеличению. Работа с этой моделью проводится в 5 этапов. 1 э...
4: 
Элементы аналитической геометрии в пространстве
Точка М(x,y,z) принадлежит плоскости Ф, если ее координаты удовлетворяют уравнению этой плоскости. Уравнение вида называется общим уравнением плоскости. Плоскость будет задана, если заданы точка М0 (х0, y0, z0), принадлежащая плоскости, и координаты ...
5: 
Процент и процентная ставка. Виды процентных ставок. Номинальная, периодическая и эффективная ставки
Процент (Y) = TV P TV полученная новая сумма (результат) (конечная или наращенная сумма) P первоначальная сумма. Процентная ставка (i) относительная величина процента. i = Y/P Простая TV = P(1+i*n) Сложная TV = P*(1+i)n TV1=P(1+i) TV2= TV1(1+i)=P(1+i...
Пользователей онлайн: 53
Все права защищены. При копировании материалов ссылка на Book-Science обязательна. (c) Book-Science, 2010-2016