Профиль
Рейтинги
Новые
Категории
  • Новости
  • Статьи
  • Работы
  • Исследования
  • Заметки
  • Комменты

Решение задач по теме Элементы векторной алгебры. Склярное произведение векторов

Разместил: Lincoln, 5 October 2011

Скалярным произведением векторов  и называется число (скаляр), равное произведению их длин, умноженному на косинус угла между ними, т. е.

 

Рекомендация. Познакомьтесь со свойствами скалярного произведения векторов и обратите внимание на то, что

  1. если  (соs φ = 0), то = 0. Очевидно, что тогда и 
  2. если вектор  умножается скалярно на вектор  (соs φ = 1), то  = а2, следовательно, при скалярном перемножении одноименных ортов получим  .

Если векторы заданы своими координатами   (X1,  Y1, Z1) и  (X2,  Y2, Z2), то их скалярное произведение равно 

*= x1x2+y1y2+z1z2

 

Если , то  x1x2+y1y2+z1z2 = 0 (условие перпендикулярности двух векторов). Угол между векторами определяется по формуле

Пример 1

Заданы векторы 

 Разложить геометрически и аналитически вектор 

Решение.

  1. Запишем координаты векторов    и построим векторы.

 

Разложить вектор  по векторам  и , означает представить  как сумму двух векторов, то есть представить   как результат линейных операций с векторами  и    (говорят:  — линейная комбинация векторов  и  )

(п. 4)

  1. Сначала решим задачу графически:

    Из (п. 4) следует, что  - диагональ параллелограмма, построенного на векторах   и , следовательно, из конца вектора  проведем две прямые, параллельные соответственно  и , продолжим линии векторов   и  (то есть ОА и ОВ) до пересечения с ними. Стороны полученного параллелограмма и есть искомые векторы 
  2. Аналитически решить данную задачу — значит найти из уравнения (1) значения λи λ2, что позволит определить векторы . Выражение (1) с учетом условия задачи имеет вид  , отсюда, сгруппировав правую часть относительно i и j, получим 

Сравнение коэффициентов при  i и j, стоящих слева и справа в последнем выражении, позволяет записать систему уравнений относительно λи λ2:


Таким образом, .

 

Пример 2

Известны точки А (0, 2, 3) и В (0, 1, 4), а также векторы  и ; причем ||=2;  ; (b — угол с осью Оу). Найти вектор   и угол между векторами  и .

Решение:

  1. Представим векторы  ,  и координатами:

 следовательно



таким образом  ū=12i+4j +4л

3. Из формулы скалярного произведения векторов  и  следует:

Спонсор статьи - компания UFAGIDRA - ваш сектрет успешной учебы, ведь специалисты компании всегда готовы помочь вам с расчетно-графическими задачами, курсовыми по гидравлике. Разумно используйте свое время! Если вы по каким-либо причинам не можете или не успеваете с домашним заданием, оставьте решение задач по гидравлике специалистам.

Рейтинг: 3.0/5 (1006 голосов)

Похожие статьи
1: 
Как повышенная влажность влияет на наше самочувствие
Уровень влажности - это то, о чем нас ежедневно предупреждает "Гисметео" в сводках погоды. Наряду с атмосферным давлением, влажность может влиять на здоровье метеочувствительных людей и способствовать обострению хронических заболеваний. Влажность воз...
2: 
Действия с матрицами
Понятие матрицы широко применяется в тех случаях, когда используется упорядоченная система параметров, которую можно представить в виде таблиц. Например, в виде таблицы может быть записан план перевозок некоторой продукции с (m) баз b1, b2,.., bm (n....
3: 
Общее решение систем линейных уравнений в векторной форме. Понятие об n-мерных векторах
Будем называть n-мерным вектором а упорядоченную последовательность чисел а1, а2,.., аn. При этом записывают a = (a1, a2,.., an). ai называют i-ой координатой вектора (i = 1,..., n), число n называют размерностью вектора. Вектор, все координаты котор...
4: 
Модель Дюпона как инструмент финансовой экспресс-диагностики
Модель Дюпона помогает оценивать прошлую рентабельность реализации продукции и уровень оборачиваемости активов и по их соотношению разрабатывать будущие рациональные планы по их ускорению и увеличению. Работа с этой моделью проводится в 5 этапов. 1 э...
5: 
Элементы аналитической геометрии в пространстве
Точка М(x,y,z) принадлежит плоскости Ф, если ее координаты удовлетворяют уравнению этой плоскости. Уравнение вида называется общим уравнением плоскости. Плоскость будет задана, если заданы точка М0 (х0, y0, z0), принадлежащая плоскости, и координаты ...
Пользователей онлайн: 72
Все права защищены. При копировании материалов ссылка на Book-Science обязательна. (c) Book-Science, 2010-2016