Основной метод аналитической геометрии — метод координат. В основе этого метода лежит понятие системы координат. В данной теме рассматривается прямоугольная (декартова) система координат. В этой системе точке М пространства соответствует упорядоченная тройка чисел (x, y, z), называемая координатами точки М, и наоборот — каждой тройке чисел соответствует единственная точка в прямоугольной системе координат. Этот принцип позволяет связать задачи геометрии и алгебры, а именно: описать аналитически заданный геометрический образ и его свойства и интерпретировать уравнения и неравенства как графические объекты.
В данной теме рассматриваются задачи геометрии на плоскости, где координатами любой точки является упорядоченная пара чисел (х, у). Важнейшее понятие аналитической геометрии — уравнение линии. Выражение вида F(x,y) = 0 называется уравнением линии на плоскости, если ему удовлетворяют координаты тех и только тех точек, которые принадлежат этой линии.
Рассмотрим на примере, как по описанию свойств множества точек, принадлежащих некоторой линии, составляется уравнение этой линии.
Пример 1.1
Написать уравнение траектории точки М (х,у), которая при своем движении остается втрое ближе к точке А (3;-2), чем к точке В (0;1).
Решение: Обозначим ВМ = d1, AM = d2.
По условию
d1 = 3d2. (1.1)
В соответствии с формулой расстояния между двумя точками
, следовательно, на основании (1.1) запишем и после упрощения получим искомое уравнение x2 + y2 + 3x — 5y — 5 = 0
Прямые линии называются линиями первого порядка, им соответствуют уравнения первой степени относительно переменных х и y. Линиям второго прядка (эллипс, гипербола, парабола и др.) соответствуют уравнения второй степени.
Прямая линия
Существуют различные формы уравнения прямой:
- Ах+Ву+С = 0 — общее уравнение прямой, где А,В,С — постоянные, причем А2+В2 ≠ 0;
- y = kx+b — уравнение прямой с угловым коэффициентом к = tga, где a — угол наклона прямой к оси Ох, отсчитываемый от оси Ох против движения часовой стрелки (положительное направление), b — отрезок, отсекаемый прямой на оси Оу;
- у — у1 = k (x — x1) — уравнение прямой, проходящей через заданную точку (х1, у1) в заданном направлении;
- — уравнение прямой в отрезках, где а, b — отрезки, отсекаемые прямой соответственно на осях Ох и Оу. Уравнение этого вида позволяет легко выполнить построение прямой, заданной любым уравнением;
- — уравнение прямой, проходящей через две заданные точки М1(х1,у1) и М2(х2,у2).
Пример 1.2.
Построить прямые:
1) 2х — 3у — 4 = 0;
2) у = 3х — 2.
Решение.
В обоих случаях следует привести заданное уравнение к виду уравнения в отрезках; далее числа, стоящие в знаменателях отложить соответственно на осях Ох и Оу, через полученные точки провести прямую
- .
- Решение этой задачи аналогично: 3х — у = 2, следовательно
Полученные прямые изображены на графике.
Прежде чем приступить к решению задач, связанных с прямой на плоскости, следует ознакомиться по учебнику со следующими вопросами: угол между прямыми; условия параллельности и перпендикулярности прямых; расстояние от точки до прямой.
Пример 1.3. Решение типовой задачи
Даны вершины треугольника: А (2,-1), В (0,2), С (4,3).
Найти: 1) длину АВ; 2) уравнения сторон; 3) угол ВАС; 4) уравнение высоты ВВ1; 5) точку В1; 6) систему линейных неравенств, определяющих область, образованную треугольником АВС.
- .
- Каждая из сторон треугольника задана двумя точками, следовательно, в соответствии с уравнением
, положив, что х1, у1 — координаты точки А, х2, у2 — координаты точки В, имеем для АВ , из чего следует уравнение прямой АВ: , из чего следует уравнение прямой АВ: .
Аналогично для ВС и АС:
.
Указание. Проверьте правильность уравнений. Так, координаты точки В удовлетворяют первому и второму уравнениям. Для проверки третьего — можно подставить координаты точки А или В.
3. Пусть φ — угол ВАС. Известно, что
(1.3)
Определим kAB и kAC. Для этого уравнения прямых АВ и АС представим в форме уравнения с угловым коэффициентом . Получим: kAB = — 1,5, kAC = 2. После подстановки этих значений в формулу (1.3) вычислим φ ≈ 60°15`.
4.Уравнение ВВ1 запишем как уравнение прямой, проходящей через заданную точку В (0;2) в заданном направлении. Это направление, то есть угловой коэффициент kBВ1, найдем из условия ВВ1^АС,
5. Координаты точки В1 определяются как решение системы уравнений прямых ВВ1 и АС (то есть как общая точка этих прямых):
.
6. Множество точек, принадлежащих замкнутой области (области с присоединенной границей) треугольника АВС, определяется как система линейных неравенств
.
Статья создана при содействии компании «DiplomMoscva«, которая представляет вашему вниманию свою помощь в написании диссертаций, курсовых и дипломных работ по формальным, естественным, гуманитарным и социальным наукам.