Элементы аналитической геометрии на плоскости

Основной метод аналитической геометрии — метод координат. В основе этого метода лежит понятие системы координат. В данной теме рассматривается прямоугольная (декартова) система координат. В этой системе точке М пространства соответствует упорядоченная тройка чисел (x, y, z), называемая координатами точки М, и наоборот — каждой тройке чисел соответствует единственная точка в прямоугольной системе координат. Этот принцип позволяет связать задачи геометрии и алгебры, а именно: описать аналитически заданный геометрический образ и его свойства и интерпретировать уравнения и неравенства как графические объекты.

В данной теме рассматриваются задачи геометрии на плоскости, где координатами любой точки является упорядоченная пара чисел (х, у). Важнейшее понятие аналитической геометрии — уравнение линии. Выражение вида F(x,y) = 0 называется уравнением линии на плоскости, если ему удовлетворяют координаты тех и только тех точек, которые принадлежат этой линии.

Рассмотрим на примере, как по описанию свойств множества точек, принадлежащих некоторой линии, составляется уравнение этой линии.

Пример 1.1

Написать уравнение траектории точки М (х,у), которая при своем движении остается втрое ближе к точке А (3;-2), чем к точке В (0;1).

Решение: Обозначим ‌ ВМ ‌ = d₁, ‌ AM ‌ = d₂.

По условию

d₁ = 3d₂. (1.1)

В соответствии с формулой расстояния между двумя точками

, следовательно, на основании (1.1) запишем и после упрощения получим искомое уравнение x² + y² + 3x — 5y — 5 = 0

Прямые линии называются линиями первого порядка, им соответствуют уравнения первой степени относительно переменных х и y. Линиям второго прядка (эллипс, гипербола, парабола и др.) соответствуют уравнения второй степени.

Прямая линия

Существуют различные формы уравнения прямой:

1. Ах+Ву+С = 0 — общее уравнение прямой, где А,В,С — постоянные, причем А²+В² ≠ 0;
2. y = kx+b — уравнение прямой с угловым коэффициентом к = tga, где a — угол наклона прямой к оси Ох, отсчитываемый от оси Ох против движения часовой стрелки (положительное направление), b — отрезок, отсекаемый прямой на оси Оу;
3. у — у₁ = k (x — x₁) — уравнение прямой, проходящей через заданную точку (х₁, у₁) в заданном направлении;
4. — уравнение прямой в отрезках, где а, b — отрезки, отсекаемые прямой соответственно на осях Ох и Оу. Уравнение этого вида позволяет легко выполнить построение прямой, заданной любым уравнением;
5. — уравнение прямой, проходящей через две заданные точки М₁(х₁,у₁) и М₂(х₂,у₂).

Пример 1.2.

Построить прямые:

1) 2х — 3у — 4 = 0;

2) у = 3х — 2.

Решение.

В обоих случаях следует привести заданное уравнение к виду уравнения в отрезках; далее числа, стоящие в знаменателях отложить соответственно на осях Ох и Оу, через полученные точки провести прямую

1. .
2. Решение этой задачи аналогично: 3х — у = 2, следовательно

Полученные прямые изображены на графике.

Прежде чем приступить к решению задач, связанных с прямой на плоскости, следует ознакомиться по учебнику со следующими вопросами: угол между прямыми; условия параллельности и перпендикулярности прямых; расстояние от точки до прямой.

Пример 1.3. Решение типовой задачи

Даны вершины треугольника: А (2,-1), В (0,2), С (4,3).

Найти: 1) длину АВ; 2) уравнения сторон; 3) угол ВАС; 4) уравнение высоты ВВ₁; 5) точку В₁; 6) систему линейных неравенств, определяющих область, образованную треугольником АВС.

1. .
2. Каждая из сторон треугольника задана двумя точками, следовательно, в соответствии с уравнением

, положив, что х₁, у₁ — координаты точки А, х₂, у₂ — координаты точки В, имеем для АВ , из чего следует уравнение прямой АВ: , из чего следует уравнение прямой АВ: .

Аналогично для ВС и АС:

.

Указание. Проверьте правильность уравнений. Так, координаты точки В удовлетворяют первому и второму уравнениям. Для проверки третьего — можно подставить координаты точки А или В.

3. Пусть φ — угол ВАС. Известно, что

(1.3)

Определим k_AB и k_AC. Для этого уравнения прямых АВ и АС представим в форме уравнения с угловым коэффициентом . Получим: k_AB = — 1,5, k_AC = 2. После подстановки этих значений в формулу (1.3) вычислим φ ≈ 60°15`.

4.Уравнение ВВ₁ запишем как уравнение прямой, проходящей через заданную точку В (0;2) в заданном направлении. Это направление, то есть угловой коэффициент k_BВ1, найдем из условия ВВ₁^АС,

5. Координаты точки В₁ определяются как решение системы уравнений прямых ВВ₁ и АС (то есть как общая точка этих прямых):

.

6. Множество точек, принадлежащих замкнутой области (области с присоединенной границей) треугольника АВС, определяется как система линейных неравенств

.

Статья создана при содействии компании «DiplomMoscva«, которая представляет вашему вниманию свою помощь в написании диссертаций, курсовых и дипломных работ по формальным, естественным, гуманитарным и социальным наукам.