Применение метода Монте Карло дает существенный эффект в тех случаях, когда затруднительно или невозможно проведение натурального эксперимента, а так же невозможно применение других математических методов (математические методы или не разработаны, или для их применения необходимо вводить значительные ограничения, что приводит к значительным погрешностям и неправильным выводам, поэтому необходимо не только наблюдать развитие процессов в нежелательных направлениях, но и оценивать гипотезы о параметрах нежелательных ситуаций. На практике широко используется следующие критерии проверки статистических гипотез:
1.согласие Х2 («xu2 «)
2.критерий Кламера – фон Мизеса
3.Колмогорова – Смирнова.
1. Критерий согласие Х2 предпочтителен если объемы выборки, в отношении которой проводится анализ велики. Как правило используется при к>100.
2. Критерий Кламера – фон Мизеса дает хорошие результаты при малых выборках, при n<10.
3. Критерий Колмогорова – Смирнова удобно использовать когда предел выборок 10≤n≤100 (n везде обозн N).
Пример: критерий Х2 : Пусть по выборке объема N получено эмперическое распределение (наблюдаемые частоты)
Варианты |
Х1 |
X2 |
… |
Xm |
Эмперическое распределение |
n1 |
n 2 |
… |
nm |
По данным наблюдениям выдвигают гипотезу о законе распределения генеральной совокупности. Такую гипотезу называют статистической гипотезой. Для объектов, которые попали в выборку вычисляют частоты исходя из теоретической гипотезы. В результате получаются частоты, которые называют выравнивающими, которые отличаются от наблюдавшихся. Далее с помощью критерия необходимо определить случайны эти расхождения или закономерны (т.е. являются следствием неправильно выдвинутой гипотезы). Критерий Х2 заключается в следующем (предположим что выдвинута гипотеза о нормальном распределении), тогда для определения выравнивающих частот необходимо сделать следующее:
1.находится среднее выборочное (в ) и выборочное среднее отклонение(Gв=√Dв)
в=1/n(Х1+ Х2 +…+ Xm)
Dв=1/n∑( Х1 — в)2*ni
2.находятся выравнивающие частоты
n’i=nh/ Gв*φ(ui), где n-сумма наблюдавшихся частот
h-разность между двумя соседними вариантами.
ui= (Xi –Xв) Gв
φ- распределение случайных величин
φ(u)=(1√2π)*е—u22
Множество выравнивающих частот получается в результате этих вычислений: n’1 ,n’2 …,n’m
По формуле Х2 =∑( ni -n’1)2 n’I находим значение случайной величины «хu0» квадрат. Затем определяется число степеней свободы к=m-3, где m-число различных вариант выборки. Далее проверка гипотезы Н проводится следующим образом: задается уровень значимости Р, т.е. значение вероятности такое, что о событии { X02>X2} имеющим вероятность Р можно с большей уверенностью сказать, что в единичном испытании оно не произойдет. По таблице значений X2 и по данному уровню значимости Р и числу степеней свободы к находят значение X2(р;к). Если окажется, что X02>X2(р;к), то гипотеза Н отвергается на уровне значимости Р. Если X02
Пример: применение метода Колмогорова – Смирнова. Предположим нужно проверить данные, полученные на их соответствие распределению Пуассона. Поскольку гипотеза сформулирована относительно распределения Пуассона, то теоретическая вероятность находится по формуле (соответствующему распределению Пуассона): Р=(λn*e—λ)n!, где n-количество испытаний; е-2,71; φ-положительная константа, которая является и математическим ожиданием и дисперсией.
Число событий |
Наблюдаемая частота |
Наблюдаемая вероятность |
Теоретическая вероятность |
Наблюдаемое распределение |
Теоретическое распределение |
Абсолютная разность |
0 |
315 |
0,619 |
0,571 |
0,619 |
0,571 |
0,048 |
1 |
142 |
0,279 |
0,319 |
0,898 |
0,890 |
0,008 |
2 |
40 |
0,078 |
0,089 |
0,976 |
0,979 |
0,003 |
3 |
9 |
0,018 |
0,017 |
0,994 |
0,996 |
0,002 |
4 |
2 |
0,004 |
0,003 |
0,998 |
0,999 |
0,001 |
5 |
1 |
0,002 |
0,001 |
1 |
|
0 |
|
∑=509 |
Наблюдаемая частота наблюдаемая вероятность |
Р=(λn*e—λ)n! |
Наблюдаемая вероятность + след. вероятность |
Теоретическая вероятность + след. вероятность |
Наблюдаемое распределение– теоретическое распределение |
λ≈0,5577
Необходимо получить Z интегральных распределения для наблюдаемых и теоретических данных. В последнем столбце наибольшая абсолютная разность =0,048, получившееся в группе соответствующей нулевому числу событий. Эту max абсолютную разность необходимо сравнить с критическим значением. Dextr для проверки принятой гипотезы Dextr=Д
D=1,36√N=1,36√509=0,0603>0,048
От гипотезы не отказываемся и считаем распределение Пуассонским.