Проверка гипотез по категориям типа событие – явление – поведение

Применение метода Монте Карло дает существенный эффект в тех случаях, когда затруднительно или невозможно проведение натурального эксперимента, а так же невозможно применение других математических методов (математические методы или не разработаны, или для их применения необходимо вводить значительные ограничения, что приводит к значительным погрешностям и неправильным выводам, поэтому необходимо не только наблюдать развитие процессов в нежелательных направлениях, но и оценивать гипотезы о параметрах нежелательных ситуаций. На практике широко используется следующие критерии проверки статистических гипотез:

1.согласие Х² («xu² «)

2.критерий Кламера – фон Мизеса

3.Колмогорова – Смирнова.

1. Критерий согласие Х² предпочтителен если объемы выборки, в отношении которой проводится анализ велики. Как правило используется при к>100.

2. Критерий Кламера – фон Мизеса дает хорошие результаты при малых выборках, при n<10.

3. Критерий Колмогорова – Смирнова удобно использовать когда предел выборок 10≤n≤100 (n везде обозн N).

Пример: критерий Х^{2 :} Пусть по выборке объема N получено эмперическое распределение (наблюдаемые частоты)

    По данным наблюдениям выдвигают гипотезу о законе распределения генеральной совокупности. Такую гипотезу называют статистической гипотезой. Для объектов, которые попали в выборку вычисляют частоты исходя из теоретической гипотезы. В результате получаются частоты, которые называют выравнивающими, которые отличаются от наблюдавшихся. Далее с помощью критерия необходимо определить случайны эти расхождения или закономерны (т.е. являются следствием неправильно выдвинутой гипотезы). Критерий Х² заключается в следующем (предположим что выдвинута гипотеза о нормальном распределении), тогда для определения выравнивающих частот необходимо сделать следующее:

1.находится среднее выборочное (_в ) и выборочное среднее отклонение(G_в=√D_в)

_в=1/n(Х₁+ Х₂ +…+ X_m)

D_в=1/n∑( Х₁ — _в)²*n_i

2.находятся выравнивающие частоты

n’_i=nh/ G_в*φ(u_i), где n-сумма наблюдавшихся частот

h-разность между двумя соседними вариантами.

u_i= (X_i –X_в) G_в

φ- распределение случайных величин

φ(u)=(1√2π)*е^—u22

Множество выравнивающих частот получается в результате этих вычислений: n’₁ ,n’₂ …,n’_m

По формуле Х² =∑( n_i -n’₁)² n’_I находим значение случайной величины «хu₀» квадрат. Затем определяется число степеней свободы к=m-3, где m-число различных вариант выборки. Далее проверка гипотезы Н проводится следующим образом: задается уровень значимости Р, т.е. значение вероятности такое, что о событии { X₀²>X²} имеющим вероятность Р можно с большей уверенностью сказать, что в единичном испытании оно не произойдет. По таблице значений X² и по данному уровню значимости Р и числу степеней свободы к находят значение X²(р;к). Если окажется, что X₀²>X²(р;к), то гипотеза Н отвергается на уровне значимости Р. Если  X₀²2, то Н принимается на уровне значимости Р.

Пример: применение метода Колмогорова – Смирнова.  Предположим нужно проверить данные, полученные на их соответствие распределению Пуассона. Поскольку гипотеза сформулирована относительно распределения Пуассона, то теоретическая вероятность находится по формуле (соответствующему распределению Пуассона): Р=(λⁿ*e^—λ)n!, где n-количество испытаний; е-2,71; φ-положительная константа, которая является и математическим ожиданием и дисперсией.

λ≈0,5577

Необходимо получить Z интегральных распределения для наблюдаемых и теоретических данных. В последнем столбце наибольшая абсолютная разность =0,048, получившееся в группе соответствующей нулевому числу событий. Эту max абсолютную разность необходимо сравнить с критическим значением. Dextr для проверки принятой гипотезы Dextr=Д

D=1,36√N=1,36√509=0,0603>0,048

От гипотезы не отказываемся  и считаем распределение Пуассонским.