Проверка гипотез по категориям типа событие – явление – поведение

Прикладные науки

Применение метода Монте Карло дает существенный эффект в тех случаях, когда затруднительно или невозможно проведение натурального эксперимента, а так же невозможно применение других математических методов (математические методы или не разработаны, или для их применения необходимо вводить значительные ограничения, что приводит к значительным погрешностям и неправильным выводам, поэтому необходимо не только наблюдать развитие процессов в нежелательных направлениях, но и оценивать гипотезы о параметрах нежелательных ситуаций. На практике широко используется следующие критерии проверки статистических гипотез:

1.согласие Х2 («xu2 «)

2.критерий Кламера – фон Мизеса

3.Колмогорова – Смирнова.

1. Критерий согласие Х2 предпочтителен если объемы выборки, в отношении которой проводится анализ велики. Как правило используется при к>100.

2. Критерий Кламера – фон Мизеса дает хорошие результаты при малых выборках, при n<10.

3. Критерий Колмогорова – Смирнова удобно использовать когда предел выборок 10≤n≤100 (n везде обозн N).

Пример: критерий Х2 : Пусть по выборке объема N получено эмперическое распределение (наблюдаемые частоты)

Варианты

Х1

X2

Xm

Эмперическое распределение

n1

n 2

nm

    По данным наблюдениям выдвигают гипотезу о законе распределения генеральной совокупности. Такую гипотезу называют статистической гипотезой. Для объектов, которые попали в выборку вычисляют частоты исходя из теоретической гипотезы. В результате получаются частоты, которые называют выравнивающими, которые отличаются от наблюдавшихся. Далее с помощью критерия необходимо определить случайны эти расхождения или закономерны (т.е. являются следствием неправильно выдвинутой гипотезы). Критерий Х2 заключается в следующем (предположим что выдвинута гипотеза о нормальном распределении), тогда для определения выравнивающих частот необходимо сделать следующее:

1.находится среднее выборочное (в ) и выборочное среднее отклонение(Gв=√Dв)

в=1/n(Х1+ Х2 +…+ Xm)

Dв=1/n∑( Х1 в)2*ni

2.находятся выравнивающие частоты

n’i=nh/ Gв*φ(ui), где n-сумма наблюдавшихся частот

h-разность между двумя соседними вариантами.

ui= (Xi –Xв) Gв

φ- распределение случайных величин

φ(u)=(1√2π)*еu22

Множество выравнивающих частот получается в результате этих вычислений: n’1 ,n’2 …,n’m

По формуле Х2 =∑( ni -n’1)2 n’I находим значение случайной величины «хu0» квадрат. Затем определяется число степеней свободы к=m-3, где m-число различных вариант выборки. Далее проверка гипотезы Н проводится следующим образом: задается уровень значимости Р, т.е. значение вероятности такое, что о событии { X02>X2} имеющим вероятность Р можно с большей уверенностью сказать, что в единичном испытании оно не произойдет. По таблице значений X2 и по данному уровню значимости Р и числу степеней свободы к находят значение X2(р;к). Если окажется, что X02>X2(р;к), то гипотеза Н отвергается на уровне значимости Р. Если  X022, то Н принимается на уровне значимости Р.

Пример: применение метода Колмогорова – Смирнова.  Предположим нужно проверить данные, полученные на их соответствие распределению Пуассона. Поскольку гипотеза сформулирована относительно распределения Пуассона, то теоретическая вероятность находится по формуле (соответствующему распределению Пуассона): Р=(λn*eλ)n!, где n-количество испытаний; е-2,71; φ-положительная константа, которая является и математическим ожиданием и дисперсией.

Число событий

Наблюдаемая частота

Наблюдаемая вероятность

Теоретическая вероятность

Наблюдаемое распределение

Теоретическое распределение

Абсолютная разность

0

315

0,619

0,571

0,619

0,571

0,048

1

142

0,279

0,319

0,898

0,890

0,008

2

40

0,078

0,089

0,976

0,979

0,003

3

9

0,018

0,017

0,994

0,996

0,002

4

2

0,004

0,003

0,998

0,999

0,001

5

1

0,002

0,001

1

 

0

 

∑=509

Наблюдаемая  частота наблюдаемая вероятность

Р=(λn*eλ)n!

Наблюдаемая вероятность + след. вероятность

Теоретическая вероятность + след. вероятность

Наблюдаемое распределение– теоретическое распределение

λ≈0,5577

Необходимо получить Z интегральных распределения для наблюдаемых и теоретических данных. В последнем столбце наибольшая абсолютная разность =0,048, получившееся в группе соответствующей нулевому числу событий. Эту max абсолютную разность необходимо сравнить с критическим значением. Dextr для проверки принятой гипотезы Dextr=Д

D=1,36√N=1,36√509=0,0603>0,048

От гипотезы не отказываемся  и считаем распределение Пуассонским.

Book-Science
Добавить комментарий