Скалярным произведением векторов и
и
называется число (скаляр), равное произведению их длин, умноженному на косинус угла между ними, т. е.
Рекомендация. Познакомьтесь со свойствами скалярного произведения векторов и обратите внимание на то, что
- если
(соs φ = 0), то
(соs φ = 0), то
= 0. Очевидно, что тогда и
= 0. Очевидно, что тогда и
- если вектор
умножается скалярно на вектор
умножается скалярно на вектор
(соs φ = 1), то
= а2, следовательно, при скалярном перемножении одноименных ортов получим
.
Если векторы заданы своими координатами (X1, Y1, Z1) и
(X1, Y1, Z1) и
(X2, Y2, Z2), то их скалярное произведение равно
*
*
= x1x2+y1y2+z1z2
Если , то x1x2+y1y2+z1z2 = 0 (условие перпендикулярности двух векторов). Угол между векторами определяется по формуле
Пример 1
Заданы векторы
Разложить геометрически и аналитически вектор
Решение.
- Запишем координаты векторов
и построим векторы.
Разложить вектор по векторам
по векторам
и
, означает представить
, означает представить
как сумму двух векторов, то есть представить
как результат линейных операций с векторами
как результат линейных операций с векторами
и
(говорят:
(говорят:
— линейная комбинация векторов
и
и
)
(п. 4)
- Сначала решим задачу графически:
Из (п. 4) следует, что
— диагональ параллелограмма, построенного на векторах
— диагональ параллелограмма, построенного на векторах
и
, следовательно, из конца вектора
, следовательно, из конца вектора
проведем две прямые, параллельные соответственно
и
и
, продолжим линии векторов
и
и
(то есть ОА и ОВ) до пересечения с ними. Стороны полученного параллелограмма и есть искомые векторы
- Аналитически решить данную задачу — значит найти из уравнения (1) значения λ1 и λ2, что позволит определить векторы
. Выражение (1) с учетом условия задачи имеет вид
. Выражение (1) с учетом условия задачи имеет вид
, отсюда, сгруппировав правую часть относительно i и j, получим
Сравнение коэффициентов при i и j, стоящих слева и справа в последнем выражении, позволяет записать систему уравнений относительно λ1 и λ2:
Таким образом, .
Пример 2
Известны точки А (0, 2, 3) и В (0, 1, 4), а также векторы и
и
,
; причем |
; причем |
|=2;
; (b — угол
; (b — угол
с осью Оу). Найти вектор
и угол между векторами
и угол между векторами
и
.
Решение:
- Представим векторы
,
,
и
координатами:
следовательно
таким образом ū=12i→+4j→ +4л→
3. Из формулы скалярного произведения векторов и
и
следует:
Спонсор статьи — компания UFAGIDRA — ваш сектрет успешной учебы, ведь специалисты компании всегда готовы помочь вам с расчетно-графическими задачами, курсовыми по гидравлике. Разумно используйте свое время! Если вы по каким-либо причинам не можете или не успеваете с домашним заданием, оставьте решение задач по гидравлике специалистам.