Логарифм — это функция, обратная к показательной. Она определяется следующим образом:
loga(x) y ⟺ ay x
Здесь a > 0, a ≠ 1; x > 0; a и x называются соответственно основанием и аргументом логарифма.
Основные свойства логарифмов
loga(xy) loga(x) loga(y)
loga(x/y) loga(x) — loga(y)
logna/sub>((x))n1)n·loga(x)
* здесь «/» означает вертикальную черту.
Доказательство свойств
Свойство 1
loga(xy) loga(x) loga(y)
Пусть ab x и ac y.
Тогда xy abac a</b c>.
Используя определение логарифма, получаем:
loga/b c/(/b /c/)/((xy))b c[1]
Раскрывая скобки в знаменателе, получаем:
[1] ⟺ b c loga/(/(b c)/)/((xy)) // по определению логарифма;
[1] ⟺ b c loga(x) loga(y) // согласно свойству 5 показательной функции;
[2] ⟺ loga(xy) loga(x) loga(y). // по определению логарифма.
Свойство 2
loga(x/y) loga(x) -loga(y)
Пусть ax и ay.
Тогда x/y a/b-c/a.
Используя определение логарифма, получаем:
LOGA/B-C/
[1] ⟺ B — C LOGA//(/B-C/)(X/Y) // по определению логарифма;
[1] ⟺ B — C LOGA(X) — LOGA(Y) // Согласно свойству 2 показательной функции;
[3] ⟺ loga(x/y) loga(x)-loga(y). // по определению логарифма.
Свойство 3
(loga(x))nn·loga(x).
Используя определение логарифма, получаем:
(loga(x))nan·loga(x).
По свойству 5 показательной функции ab c abac, при любых b и c.
ТЕМ САМЫМ, Раскрывая скобки в знаменателе :
(LOGA(X))NLOGA/X//N//LOGA/X/ /… /LOGA/X/N-1
*здесь «/n/» означает «в степени n».
Выводы
Таким образом, свойства логарифмов для ЕГЭ являются очень полезными,чтобы решать различные задач. Их знание поможет быстрее и эффективнее справляться с уравнениями и неравенствами, а также проводить преобразования выражений с использованием логарифмов.
Важно помнить:
— Основание логарифма должно быть положительным и не равным 1.
— Аргумент логарифма должен быть положительным.
