Существует множество форм деятельности фирм, которые связаны с распределением ресурсов. Эти ресурсы включают труд, сырье, оборудование и денежные средства. Иногда процесс распределения ресурсов при формировании, планов производства называют программированием. Размеры ресурсов, как правило, ограничены, поэтому возникают определенные проблемы. Если фирма выпускает продукцию нескольких видов с использованием одного и того же оборудования и трудовых ресурсов, то ее администрация должна решить, какое количество продукции каждого вида производить. Администрация может задаться, целью наладить производство таким образом, чтобы максимизировать общий выпуск продукции за определенный период времени, максимизировать время использования оборудования или минимизировать затраты труда. Переменные величины, получающие численные значения в результате решения таких задач,- это количество продукции каждого вида, которое необходимо произвести за данный период времени.
Аналогично, если фирма обладает определенным капиталом для инвестирования ряда проектов, распределение денежных сумм по каждому проекту нужно проводить таким образом, чтобы минимизировать риск или максимизировать темпы роста капитала. Переменные решения в данном случае — это денежные суммы, помещаемые в каждый проект.
В общем случае цель состоит в определении наиболее эффективного распределения ресурсов по соответствующим направлениям, которое оптимизирует некоторый результат функционирования системы. Часто эффективным инструментом в процессе распределения ресурсов являются математические модели. Математическим программированием называется использование математических методов и моделей для решения задач оптимизации социально — экономических программ.
Всякая задача математического программирования включает две группы условий:
а) критерий оптимальности в виде аналитической функции;
б) ограничения, определяющие множество допустимых решений.
При этом задача нахождения экстремума имеет смысл, если множество допустимых решений не пусто, а целевая функция на этом множестве ограничена.
Множество допустимых решений и критерий оптимальности формируются независимо друг от друга.
Ограничимся в дальнейшем рассмотрением моделей линейного программирования. Задача оптимального планирования сводится к задаче линейного программирования при выполнении следующих условий:
1) в задаче должен быть единый критерий оптимальности;
2) имеется множество допустимых решений, определяемых системой ограничений;
3) переменные в моделях линейного программирования взаимозаменяемы. Условия задачи должны обеспечить многовариантность и свободу выбора вариантов;
4) модель задачи должна содержать только линейные уравнения и неравенства.
Двойственность в линейном программировании
Рассмотрим стандартную и двойственную к ней задачи линейного программирования.
удовлетворяющих
Стандартная задача:
Найти значения переменных, удовлетворяющих X1, X2, …, условиям
Двойственная задача: Найти значения переменных X1, X2, Xn, удовлетворяющих условиям
